高考球例题复习精讲

下面是小编为大家整理的高考球例题复习精讲,供大家参考。

　典型例题典型例题 1——球的截面——球的截面 例例 1 球面上有三点 A 、 B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中24、30AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 分析：分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面， ABC18AB，BC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222dRr求出球半径R ． 解：解：∵18AB，24BC，30AC， ∴222ACBCAB， ABC是以 AC 为斜边的直角三角形． ∴ ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径115r， 又球心到截面的距离为Rd2，∴22215)21(RR，得310R． ∴球的表面积为441200) 310(22RS． 说明：说明：

　涉及到球的截面的问题， 总是使用关系式22dRr解题， 我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 【练习】【练习】过球O表面上一点 A引三条长度相等的弦 AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为径为R ，求弦 AB 的长度． 由条件可抓住BCDA是正四面体，A、B 、 C 、D 为球上四点， 则球心在正四面体中心， 设60 ，若球半aAB ，则 截 面 BCD 与 球 心 的 距 离Rad36， 过 点 B 、 C 、 D 的 截 面 圆 半 径ar33， 所 以222)36()33(RaRa得Ra362． 典型例题典型例题 2——球面距离——球面距离 例例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（

　）

　． A．有且只有一个

　 B．一个或无穷多个

　 C．无数个

　 D．以上均不正确 分析：分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选 B． 例例 3

　球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6，求这个球的半径． 分析：分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解． 设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则如图所示，设三点 A、B 、C ，O为球心，2COABOCAOB． 又∵1，经过 3 个点的小圆的周长为442r，∴2r． 36OBOA， ∴ AOB是等边三角形，同样， BOC、 COA都是等边三角形，得 ABC为等边三角形，边长等于球半径R ．r 为 ABC的外接圆半径，RABr3333，3233rR． 说明：说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．

　例例 4 A、B 是半径为R 的球O的球面上两点，它们的球面距离为R2，求过 A、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？ 分析：分析：A、B 是球面上两点，球面距离为R2，转化为球心角2AOB，从而RAB2，由关系式222dRr，r 越小，d 越大，r 是过 A、B 的球的截面圆的半径，所以 AB 为圆的直径，r 最小．

　解：解：∵球面上 A、B 两点的球面的距离为R2．

　 ∴2AOB，∴RAB2． 当 AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时RABr2221，d 取最大值， RrRd2222，

　即球心与过 A、B 的截面圆距离最大值为R22． 说明：说明：利用关系式222dRr不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角 AOB而球心角 AOB又直接与 AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索． 有关，典型例题典型例题 3——其它问题——其它问题 例例 5． 自半径为R 的球面上一点M ， 引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,， 求222MCMBMA的值． 分析：分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联． 解：解：以MCMBMA,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABCM 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

　 222MCMBMA=224)2 (RR． 说明：说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

　例例 6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小． 分析：分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系． 解：解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ， 则由433,433VrVr，343Vr ，由,3Va 得3Va ． 322324)43(44VVrS球．

　32322322166)( 66VVVaS正方体．  2164324 V32216V，即正方体球SS．

　典型例题典型例题 4——球与几何体的切、接问题——球与几何体的切、接问题 例例 7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？ 分析：分析：

　先作出轴截面， 弄清楚圆锥和球相切时的位置特征， 利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解． 解：解：

　如图作轴截面， 设球未取出时水面高hPC ， 球取出后， 水面高xPH  ∵rAC3，rPC3， 则以 AB 为底面直径的圆锥容积为PCACV231圆锥3233)3(31rrr， 球取出后水面下降到EF ，水体积为32291)30tan(3131xPHPHPHEHV水． 又球圆锥V水VV，则33334391rrx，

　 解得rx315．

　例例 8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比． 分析：分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的． 解：解：如图，正四面体 ABCD的中心为O， BCD的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离． 设ROArOO ,1，正四面体的一个面的面积为S ． 依题意得)(31rRSVBCDA，

　 又SrVVBCDOBCDA3144 rrR4即rR3． 所以914422Rr外接球的表面积内切球的表面积．271343433Rr外接球的体积内切球的体积．

　说明：说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正1(h 为正四面体的高)，且外接球的半径四面体高的四等分点，即定有内切球的半径hr4rR3．

　例例 9．把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 分析：分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2． 解：解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332 (222h． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622．

　例例 10．如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切． （1）求两球半径之和； （2）球的半径为多少时，两球体积之和最小． 分析：分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 2 中，观察R 与r 和棱长间的关系即可． 解：解：如图 2，球心1O 和2O 在 AC 上，过1O ，2O 分别作BCAD,的垂线交于FE,． 则由3, 1ACAB得RCOrAO3,321． 3)( 3RrRr，

　 233133rR． （1）设两球体积之和为V ， 4RV则))((34)(32233rRrRRrr

　 =rR3rR)(233342)233(3)233(233342RR =222)233() 33 ( 3323334RR 当433R时，V 有最小值．当433 rR时，体积之和有最小值． 作业作业 1. 正三棱锥的高为 1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． 解：解：如图，球O是正三棱锥都是球的半径R ． ABCP的内切球，O到正三棱锥四个面的距离 PH 是正三棱锥的高，即1PH．E 是BC 边中点，H 在 AE 上， ABC的边长为62，∴26263HE．

　 ∴3PE 可以得到2321PEBCSSSPBCPACPAB．

　 36)62 (432ABCS 由等体积法，ABCOPBCOPACOPABOABCPVVVVV ∴RR36313233113631

　得：2633232R， ∴)44625 ( 8) 26(22RS球．

　 ∴33) 26(3434RV球． 说明：说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 图 2

　2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

　分析：分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系． 解：解：如图，等边 SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDDC，截球面得球的大圆圆1O ． 设球的半径ROO 1，则它的外切圆柱的高为 R2，底面半径为R ； RO1OOB330cot，

　 RROBSO33360tan， ∴334RV球，3222RRRV柱，

　 3233)3(31RRRV锥， ∴964∶∶∶∶锥柱球VVV．

　3 在球心同侧有相距 cm9的两个平行截面，它们的面积分别为249 cm和2400 cm．求球的表面积． 分析：分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．

　解：解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21// BOAO，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AOOO ，22BOOO ．设球的半径为R ． ∵4922BO，∴)( 72cmBO 同理40021AO，∴)(201cmAO 设xcmOO 1，则cmxOO) 9(2． 在AOORt1中，22220 xR；在BOORt2中，2227) 9( xR， ∴222) 9(720xx，解得15x， ∴22222520  xR，∴25R ∴)(2500422cmRS球． ∴球的表面积为22500 cm．

推荐访问:高考球例题复习精讲 高考 例题 复习